Question

9．如图，ABCD是边长为2的正方形，ED=1，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{1}{2}$BD．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证平面ACE⊥平面BDEF；
（3）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF∥平面ACE．
（2）求出平面BDEF和平面ACE的法向量，利用向量法能证明平面ACE⊥平面BDEF．
（3）求出$\overrightarrow{DA}$和平面ACE的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵ABCD是边长为2的正方形，ED=1，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），F（1，1，1），A（2，0，0），C（0，2，0）E（0，0，1），
$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，1），
设平面AFC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}$=-1-1+2=0，
∵BF?平面ACE，∴BF∥平面ACE．
（2）$\overrightarrow{DE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面BDEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}=（1，-1，0）$，
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1-1+0=0，
∴平面ACE⊥平面BDEF．
解：（3）$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），
设直线AD与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{2×\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴直线AD与平面ACE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．