已知f(x)=x-(a>0),g(x)=2lnx+bx且直线y=2x-2与曲线y=g(x)相切.
(1)若对[1,+)内的一切实数x,小等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=l时,求最大的正整数k,使得对[e,3](e=2.71828是自然对数的底数)内的任意k个实数x1,x2,,xk都有成立;
(3)求证:.
(1);(2)
的最大值为
.
(3)当时,根据(1)的推导有,
时,
,即
.令
,得
,化简得
,
。
解析试题分析:(1)设点为直线
与曲线
的切点,则有
. (*)
,
. (**)
由(*)、(**)两式,解得,
. 2分
由整理,得
,
,
要使不等式
恒成立,必须
恒成立.
设,
,
,
当
时,
,则
是增函数,
,
是增函数,
,
.5分
因此,实数的取值范围是
. 6分
(2)当时,
,
,
在
上是增函数,
在
上的最大值为
.
要对内的任意
个实数
都有
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,当
时不等式左边取得最大值,
时不等式右边取得最小值.
,解得
.
因此,的最大值为
. 10分
(3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,
时,
,
即. 11分
令,得
,
化简得, 13分
. 14分
(法二)数学归纳法:当时,左边=
,右边=
,
根据(1)的推导有,时,
,即
.
令,得
,即
.
因此,时不等式成立. 11分
(另解:,
,
,即
.)
假设当时不等式成立,即
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
本小题满分12分)设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合:①方程f (x)一x=0有实根;②函数的导数满足0<
<1.
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素,证明:方程f(x)一x=0只有一个实根;
(2)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意,
证明:
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