Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1 ， 且AA1=AB=2．

（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为 ，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，

因AA1=AB，则AD⊥A1B

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，

且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC．

因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC

（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，

则CD是AC在平面A1BC内的射影

∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则

在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点

∴ ，且 ，

∴

过点A作AE⊥A1C于点E，连DE

由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A

∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，

且直角△A1AC中：

又 ，

∴ ，

且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角

∴ ，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为 ．

【解析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．