Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|（a∈R）．
（1）若f（1）＜11，求a的取值范围；
（2）若a∈R，f（x）≥x2﹣x﹣3恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）=|1﹣a|+|2﹣a|= ，

当a≤1时，3﹣2a＜11，解得a＞﹣4，∴﹣4＜a≤1；

当1＜a＜2时，1＜11恒成立；

当a≥2时，2a﹣3＜11，解得a＜4，2≤a＜4．

综上，a的取值范围是（﹣4，4）

（2）解：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|≥|x﹣a﹣（2x﹣a）|=|x|，

∴|x|≥x2﹣x﹣3，

∴ 或 ，

解得0≤x≤ 或﹣ x＜0．

∴﹣ ≤x≤

【解析】（1）讨论a的范围，得出f（1）关于a的解析式，从而解出a的值；（2）把a看作自变量，利用绝对值三角不等式得出|x﹣a|+|2x﹣a|的最小值，从而得出关于x的不等式解出．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．