Question

已知函数.
（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；
（3）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）

试题分析：（1）当时.函数f(x)是一个对数函数和分式的和的形式.通过求导可以求出函数的有极小值，但没极大值.
（2）当时.通过求导可得导函数的两个零点，在定义域上分别对两个零点的大小讨论分类.从而得到函数的单调区间.
（3）由对任意的恒有成立.首先要求出函数f(x)在[1,3]上且的最大值.从而对于任意使得恒成立即可.再通过分离变量即可得到结论.本题前两小题较为基础但第二小题的分类做到清晰不容易，第三小题难度较大.
试题解析：（1）当时，     1分
由,解得.                                2分
∴在上是减函数，在上是增函数.               3分
∴的极小值为，无极大值.                   4分
（2）.  6分
①当时，在和上是减函数，在上是增函数；   7分
②当时，在上是减函数；                      8分
③当时，在和上是减函数，在上是增函数.    9分
（3）当时，由（2）可知在上是减函数，
∴.              10分
由对任意的恒成立，
∴                        11分
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，                         12分
由于当时，，∴.           14分