Question

7．如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=3BC，过A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q，则以下四个结论：
①QC∥A₁D②B₁Q=2QB；③直线A₁B与直线CD相交；④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等．其中正确的有①②．

Answer 1

分析 ①由于平面BCB₁C₁∥平面ADD₁A₁，即可判断出正误；
②如图所示，设A₁Q∩DC=E点，则E点也在AB的延长线上，利用A₁B₁∥AB，BC∥AD，可得$\frac{{B}_{1}Q}{BQ}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{BE}$=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AD-BC}{BC}$=$\frac{2}{1}$，即可判断出正误；
③直线A₁B与直线CD是异面直线，即可判断出正误；
④如图所示，设S₁=${S}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BC•BB₁．可得：S_△BCQ=$\frac{1}{6}$S₁，${S}_{△AD{A}_{1}}$=$\frac{3}{2}$S₁．分别计算出${V}_{BCQ-AD{A}_{1}}$=$\frac{13}{18}{S}_{1}h$，（h为平面BCC₁B₁与平面ADD₁A₁之间的距离），${V}_{BC{C}_{1}{B}_{1}-AD{D}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{13}{3}{S}_{1}h$，即可判断出正误．

解答 解：①∵平面BCB₁C₁∥平面ADD₁A₁，平面BCB₁C₁∩α=CQ，α∥平面ADD₁A₁=A₁D，∴QC∥A₁D，正确；
②如图所示，设A₁Q∩DC=E点，则E点也在AB的延长线上，∵A₁B₁∥AB，BC∥AD，∴$\frac{{B}_{1}Q}{BQ}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{BE}$=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AD-BC}{BC}$=$\frac{2}{1}$，∴B₁Q=2QB，正确；
③直线A₁B与直线CD是异面直线，不可能相交，因此不正确；
④如图所示，设S₁=${S}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BC•BB₁．S_△BCQ=$\frac{1}{2}BQ•BC$=$\frac{1}{6}$S₁，${S}_{△AD{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}AD•A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×3BC•$3QB=9×$\frac{1}{6}{S}_{1}$=$\frac{3}{2}$S₁．
${V}_{BCQ-AD{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{6}{S}_{1}+\sqrt{\frac{1}{6}{S}_{1}•\frac{3}{2}{S}_{1}}+\frac{3}{2}{S}_{1}）$•H=$\frac{13}{18}{S}_{1}h$，（h为平面BCC₁B₁与平面ADD₁A₁之间的距离）．${V}_{BC{C}_{1}{B}_{1}-AD{D}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+\sqrt{{S}_{1}•9{S}_{1}}+9{S}_{1}）$•h=$\frac{13}{3}{S}_{1}h$，因此四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积不相等，不正确．
综上可得：只有①②正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查了空间位置关系及其判定、体积计算公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．