Question

如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA＝AB，SB＝SC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

　　∴SC⊥平面BDE，

　　∴SC⊥BD，

　　又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，

　　∴SA⊥BD．

　　而SA∩SC＝S，

　　所以BD⊥平面SAC．

　　∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

　　∴BD⊥DE，BD⊥DC．

　　∴∠EDC是所求二面角的平面角．

　　∵SA⊥底面ABC，

　　∴SA⊥AB，SA⊥AC．

　　设SA＝a，则AB＝a，BC＝SB＝a．

　　又AB⊥BC，所以AC＝a．在RtΔSAC中

　　tan∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°．

　　又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°．

　　解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E．

　　∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD．

　　由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE．

　　∵DE平面BDE，DC平面BDC．

　　∴∠EDC是所求二面角的平面角．

　　以下解法同解法一．