Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB=2sin（$\frac{π}{4}$+B）•sin（$\frac{π}{4}$-B）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：2cos²B-cosB-1=0，解得：cosB=1或-$\frac{1}{2}$，即可求B的值．
（Ⅱ）利用余弦定理和基本不等式即可得出ac$≤\frac{1}{3}$，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB=2sin（$\frac{π}{4}$+B）•sin（$\frac{π}{4}$-B）=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（cosB+sinB）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（cosB-sinB），
∴cosB=cos²B-sin²B．可得：2cos²B-cosB-1=0，
∴解得：cosB=1或-$\frac{1}{2}$，
∴B=0（舍去），或$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
当cosB=-$\frac{1}{2}$时，可得：sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1=a²+c²+ac，1≥2ac+ac=3ac，解得：ac$≤\frac{1}{3}$，当且仅当a=c时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
△ABC面积的最大值：$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．