Question

【题目】设椭圆E： + =1（a＞0）的焦点在x轴上．
（Ⅰ）若椭圆E的离心率e= a，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2 与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时， 与 的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由 得
a4﹣25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为 ；
（Ⅱ）设P（x0 ， y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则c2=2a2﹣8，
联立 得8x2﹣4 x+a4=0，
即（2 ﹣a2）2 ， 故 ， ，
直线PF2的方程为 ，令x=0，则 ，即点Q的坐标为（0， ），
故 ，
故 =
故 与 的夹角为定值 ．
【解析】（Ⅰ）由题知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由 得a4﹣25a2+100=0，可得a2；（Ⅱ）设P（x0 ， y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则c2=2a2﹣8，联立 得点P坐标，写出直线PF2的方程求出点Q的坐标．由 = ，可得 与 的夹角
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．