Question

已知数列a_n的前n项和S_n：a_n+3S_n=1，b_n+10=3log

1

4

an（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等差数列；
（3）若c_n=a_n•b_n，则是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的通项公式和前n项和的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据等差数列的定义即可证明数列{b_n}是等差数列；
（3）求出c_n=a_n•b_n的通项公式，根据等比数列的性质求解方程即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a_n+3S_n=1，∴a_n+1+3S_n+1=1，
两式相减得a_n+1-a_n+3（S_n+1-S_n）=0
a_n+1-a_n+3a_n+1=0，
则a_n+1=

1

4

a_n，
则数列{a_n}是公比q=

1

4

的等比数列，
当n=1时，a₁+3S₁=1，解得a₁=

1

4

，
则a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=（

1

4

）ⁿ．
（2）∵b_n+10=3log

1

4

an=3n，
∴b_n=3n-10，
则b_n-b_n-1=3，
则数列{b_n}是等差数列，公差d=3，首项b₁=-7．
（3）∵b_n=3n-10，c_n=a_n•b_n，
∴c_n=（3n-10）•（

1

4

）ⁿ，
则c_k=（3k-10）•（

1

4

）^k，
c_k+1=（3k-7）•（

1

4

）^k+1，c_k+2=（3k-4）•（

1

4

）^k+2，
若存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列，
则满足c_k+1²=c_kc_k+2，
即[(3k-7)•(

1

4

)k+1]2=（3k-10）•（

1

4

）^k）（3k-4）•（

1

4

）^k+2，
即（3k-7）²•（

1

4

）^2k+2=（3k-10）•（3k-4）•（

1

4

）^2k+2，
则（3k-7）²=（3k-10）•（3k-4），
展开得49=40，方程不成立，
即k不存在．

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据等差数列和等比数列的定义和性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．