Question

8．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=$\frac{π}{3}$，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则此时球的表面积为36π．

Answer 1

分析 当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，求出半径，即可求出球O的体积

解答 解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O-ABC的体积最大，
设球O的半径为R，此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}\\;×{R}^{2}×sin6{0}^{0}×R$×R²×sin60°×R=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
故R=3，则球O的表面积为4πR²=36π，
故答案为：36π．

点评 本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．属于中档题