Question

“我们称使f(x)=0的x为函数y=f(x)的零点.若函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续的、单调的函数，且满足f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间［a,b］上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x³+x²+x+m.

（1）当m=0时,讨论函数f(x)=-x³+x²+x+m在定义域内的单调性并求出极值；

（2）若函数f(x)=-x³+x²+x+m有三个零点，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：（1）当m=0时,f(x)=-x³+x²+x.∴f′(x)=-3x²+2x+1=-3(x+)(x-1).

列表

x	(-∞,)		(,1)	1	（1，+∞）
f′(x)	—	0	+	0	-
f(x)	↘	极小值f()	↗	极大值f(1)	↘

由表可知：函数f(x)=-x³+x²+x在区间［,1］上单调递增,在(-∞,)∪(1,+∞)上单调递减. f(x)的极小值为f()=.极大值为f(1)=1.

（2）由（1）知，当x=时,f(x)取得极小值f()=++m=m.

当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=-1+1+1+m=m+1.

当即-1＜m＜时，

f(-1)=1+1-1+m=m+1＞0,f()=m-＜0,f(1)=m+1＞0,f(2)=m-2＜0.

∴f(x)=-x³+x²+x+m在［-1,］上有唯一零点,在(,1］上有唯一零点,在(1,2］上有唯一零点.

又f(x)=-x³+x²+x+m在(-∞,-1］上单调递减,在［2,+∞)上单调递减,

∴在(-∞,-1］上恒有f(x)≥f(-1)＞0,在?［2,+∞)?上恒有f(x)≤f(2)＜0.

∴f(x)=-x³+x²+x+m在(-∞,-1］和?［2,+∞)?上无零点.

∴-1＜m＜时,函数f(x)=-x³+x²+x+m有三个零点.

∴所求实数m的取值范围是(-1,).