Question

9．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}+b（a＞0）$是奇函数．
（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；
（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）+f（-x）=0恒成立，可得b=0．Q（1，3）在函数f（x）的图象上，可得a=2即可．
（2）由对勾函数图象可得；
（3）在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2?在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，即f（x）_min＜4，2$\sqrt{a}$＜4，解得a．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{a}{x}+b（a＞0）$是奇函数，则f（x）+f（-x）=0恒成立，即x+$\frac{a}{x}+b+（-x）+\frac{a}{-x}+b=0$⇒b=0．∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$ （a＞0）．
∵Q（1，3）在函数f（x）的图象上，∴1+a=3，∴a=2，∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$．（x≠0）．
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$ （a＞0）．的增区间为：（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞）；减区间为：（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）．
（3）∵点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R）在横轴上，且AB=1，
∴在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2?在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，
如图所示，函数f（x）的图象与y=4，y=-4各有两个交点，即f（x）_min＜4，2$\sqrt{a}$＜4，解得0＜a＜4．
∴实数a的取值范围为：（0，4）．

点评 本题考查了对勾函数的图象及性质，数形结合是解题关键，属于中档题．