Question

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2-lnx(a∈R)
（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=l时，f(x)=

1

2

x2-lnx（x＞0），求导函数，确定函数在（0，e]上的单调性，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，即(a-

1

2

)x2-lnx-2ax＜0在区间（1，+∞）上恒成立，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（I）当a=l时，f(x)=

1

2

x2-lnx（x＞0），∴f′(x)=x-

1

x

∴函数在（0，1）上，f′（x）＜0，函数单调递减，在（1，e]上，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴f（x）在（0，e]上的最小值为f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，即(a-

1

2

)x2-lnx-2ax＜0在区间（1，+∞）上恒成立
设g（x）=(a-

1

2

)x2-lnx-2ax，则g′（x）=（x+1）（2a-1-

1

x

）
x∈（1，+∞）时，x+1＞0，0＜

1

x

＜1
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，g′（x）＜0，函数在（1，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（1）=-

1

2

-a，
只需-

1

2

-a≤0，即-

1

2

≤a≤

1

2

时，g（x）＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1时，令g′（x）=0，得x=

1

2a-1

＞1，函数在（1，

1

2a-1

）上为减函数，（

1

2a-1

，+∞）为增函数，
∴g（x）∈（g（

1

2a-1

），+∞），不合题意；
③若2a-1≥1，即a≥1时，g′（x）＞0，函数在（1，+∞）上增减函数，∴g（x）∈（g（1），+∞），不合题意
综上可知，-

1

2

≤a≤

1

2

时，g（x）＜0恒成立
∴实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．