Question

设f（x）=ln（1+x）-x-ax²．
（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；
（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间[-

1

2

，-

1

3

]上有单调递增的区间．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，解得a的值；
（2）f（x）在区间[-

1

2

，-

1

3

]上有单调递增的区间，即f′（x）＞0时在[-

1

2

，-

1

3

]上有解，解含参数的不等式．

解答：解：（1）由题意知f（x）的定义域为（-1，+∞），
且f′（x）=

1

1+x

-1-2ax=

-2ax2-(2a+1)x

1+x

，
当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=-

1

4

；
当a=-

1

4

时，f′（x）=

x2-x

x+1

在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，
f′（x）=

x2-x

x+1

在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函数，
∴f（1）是函数的极小值，∴a的值为-

1

4

；
（2）要使f（x）在区间[-

1

2

，-

1

3

]上有单调递增的区间，
即f′（x）＞0在[-

1

2

，-

1

3

]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；
（i）当a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0满足条件；
（ii）当a＞0时，有x＞-

2a+1

2a

，此时只要-

2a+1

2a

＜-

1

3

，解得：a＞-

3

4

，∴取a＞0；
（iii）当a＜0时，有x＜-

2a+1

2a

，此时只要-

2a+1

2a

＞-

1

2

，解得：a＞-1，∴取-1＜a＜0；
综上，a满足的条件是：a∈（-1，+∞）

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题，也考查了含参数的不等式的解法问题．