Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向左平移

π

24

个单位长度，再将图象上点的横坐标伸长为原来的2倍得到的，若角A为三角形的最小内角，求g（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

2

sin（2x-

π

4

），由此求得函数的最小正周期．
（2）把y=f（x）的图象经过两次变换后得到所得图象对应的函数解析式为g（x）=

2

sin（x-

π

3

），故g（A）=

2

sin（A-

π

3

），再根据0＜A≤

π

3

，求出g（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x=1+sin2x-2×

1-cos2x

2

=1+sin2x-1-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）把y=f（x）的图象向左平移

π

24

个单位长度所得图象对应的函数解析式为y=

2

sin[2（x-

π

24

）-

π

4

]
=

2

sin（2x-

π

3

），
再将图象上点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数y=

2

sin（x-

π

3

） 的图象，
故由题意可得g（x）=

2

sin（x-

π

3

），故g（A）=

2

sin（A-

π

3

）．
若角A为三角形的最小内角，则有0＜A≤

π

3

，∴-

π

3

＜A-

π

3

≤0，-

3

2

＜sin（A-

π

3

）≤0，
故-

6

2

＜

2

sin（A-

π

3

）≤0，
故g（A）的取值范围为（-

6

2

，0]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性与求法，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．