Question

若双曲线

x2

36

-

y2

9

=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（　　）

• A、x-2y=0
• B、x+2y-4=0
• C、2x+13y-14=0
• D、x+2y-8=0

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：检验线直线方程为x=2，是否符合题意，然后设直线与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法求出直线方程后，代入检验所求直线与已知曲线是否相交

解答： 解：当直线的斜率k不存在时，直线方程为x=2，直线被双曲线所截线段的中点为（2，0），不符
设直线与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
把A，B代入到曲线方程且相减可得，

(x1+x2)(x1-x2)

36

-

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0，
由题意可得，x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
∴K_AB=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直线的方程为y-2=

1

2

（x-4），
即x-2y=0，
联立

x2 36 - y2 9 =1 x-2y=0

，可得0=36，
∴所求直线与已知曲线没有交点．
综上：x-2y=0，
故选：A．

点评：本题主要考 查了点差法在求解直线与曲线相交关系中的应用，学生用“点差法”求出直线方程漏掉检验用“△”验证直线的存在性是导致本题出现错误的最直接的原因