Question

【选修4-4：坐标系与参数方程】
（1）求点M（2，

π

3

）到直线ρ=

3

sinθ+cosθ

上点A的距离的最小值．
（2）求曲线C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ为参数)关于直线y=1对称的曲线的参数方程．

Answer 1

分析：（1）点M（2，

π

3

）化为直角坐标M(2cos

π

3

，2sin

π

3

)即M(1，

3

)．直线ρ=

3

sinθ+cosθ

即ρsinθ+ρcosθ=

3

，化为直角坐标方程x+y-

3

=0．则点M(1，

3

)到直线上的点A的距离的最小值为点M到直线的距离．
（2）设曲线C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ为参数)关于直线y=1对称的曲线上的点为P（x，y），则点P关于直线y=1的对称点P′（x，2-y），此点在曲线C上，可得

x=-1+cosθ 2-y=sinθ

，即可．

解答：解：（1）点M（2，

π

3

）化为直角坐标M(2cos

π

3

，2sin

π

3

)即M(1，

3

)．
直线ρ=

3

sinθ+cosθ

即ρsinθ+ρcosθ=

3

，化为直角坐标方程x+y-

3

=0．
则点M(1，

3

)到直线上的点A的距离的最小值为d=

|1+ 3 - 3 |

2

=

2

2

．
∴点M（2，

π

3

）到直线ρ=

3

sinθ+cosθ

上点A的距离的最小值是

2

2

．
（2）设曲线C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ为参数)关于直线y=1对称的曲线上的点为P（x，y），
则点P关于直线y=1的对称点P′（x，2-y），此点在曲线C上，
∴

x=-1+cosθ 2-y=sinθ

，化为

x=-1+cosθ y=2-sinθ

即为所求曲线C关于直线y=1对称的曲线的参数方程．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、曲线关于直线的对称曲线、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．