Question

如图，l₁、l₂是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l₂上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|=3km，点N到l₁、l₂的距离分别为4km和5km．
（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于

26

km，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．

Answer 1

分析：（1）建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程．
（2）据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题．

解答：解：（1）分别以l₂、l₁为x轴，y轴建立如图坐标系．
据题意得M（0，3），N（4，5），∴kMN=

5-3

4-0

=

1

2

，
MN中点为（2，4），
∴线段MN的垂直平分线方程为：y-4=-2（x-2）），
故圆心A的坐标为（4，0），
半径r=

(4-0)2+(0-3)2

=5，（5分）
∴弧

MN

的方程为：（x-4）²+y²=25（0≤x≤4，5≥y≥3）．（8分）
（2）设校址选在B（a，0）（a＞4），
则

(x-a)2+y2

≥

26

，对0≤x≤4恒成立．
即

(x-a)2+25-(x-4)2

 ≥ 

26

，对0≤x≤4恒成立．
整理得：（8-2a）x+a²-17≥0，对0≤x≤4恒成立（﹡）．（10分）
令f（x）=（8-2a）x+a²-17．
∵a＞4，∴8-2a＜0，
∴f（x）在[0，4]上为减函数，（12分）
∴要使（﹡）恒成立，当且仅当

a＞4 f(4)≥0

，即

a＞4 (8-2a)•4+a2-17≥0

，
解得a≥5，（14分）
即校址选在距O最近5km的地方．（16分）

点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，函数的恒成立问题，利用二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，
属于中档题．