Question

已知函数f(x)＝x²－2acos kπ·ln x(k∈N^*，a∈R，且a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若k＝2 04，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

（1）当k是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．
（2）

解：(1)由已知得x>0
且f′(x)＝2x－(－1)^k·.
当k是奇数时，f′(x)>0，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当k是偶数时，
则f′(x)＝2x－＝.
所以当x∈(0，)时，f′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0.
故当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．
(2)若k＝2 014，
则f(x)＝x²－2aln x(k∈N^*)．
记g(x)＝f(x)－2ax＝x²－2aln x－2ax，
则g′(x)＝2x－－2a＝(x²－ax－a)．
则方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．
令g′(x)＝0，得x²－ax－a＝0.
因为a>0，x>0，
所以x₁＝<0(舍去)，
x₂＝.
当x∈(0，x₂)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x₂)上是单调减函数；当x∈(x₂，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x₂，＋∞)上是单调增函数．
当x＝x₂时，g′(x₂)＝0，g(x)_min＝g(x₂)．
因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x₂)＝0.则
，即
两式相减得2aln x₂＋ax₂－a＝0，
因为a>0，所以2ln x₂＋x₂－1＝0.(*)
设函数h(x)＝2lnx＋x－1.
因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一个解．
因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x₂＝1.
从而解得a＝.