Question

3．已知抛物线x²=2y上三点A，B，C，且A（-2，2），AB⊥BC，当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-6]∪[2，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． [-6，2]

Answer 1

分析 设B（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），C（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），根据AB⊥BC，表示出两直线的斜率相乘得-1，进而可得关于x₂的一元二次方程，根据判别式大于等于0求得x₂范围

解答 解：由于B、C在抛物线上，故可设 B（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），C（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²）
∵AB⊥BC，
∴x₁≠-2，x₂≠-2，x₁≠x₂
∴$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-2}{{x}_{1}+2}$•$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
即x₁²+（x₂-2）x₁-2（x₂-2）=0．
∵x₁∈R，
∴△=（x₂-2）²+8（x₂-2）≥0，
即x²₂+4x₂-12≥0．
解得x₂≤-6，或x₂≥2，
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析问题和实际的运算的能力．