Question

20．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，AD的中点，过EF的截面EFG与底面成60°二面角，且与棱AA₁交于G，求棱锥G-AEF的体积．

Answer 1

分析 作出二面角的平面角，利用几何知识计算出GA的长，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：∵AE=AF，∠GAF=∠GAE=90°，AG是公共边，∴△GAF≌△GAE，∴GF=GE，即△GEF是等腰三角形．
取EF的中点M，连结GM，AM，则∠GMA为二面角A-EF-G的平面角，∴∠AMG=60°．
∵AE=AF=1，∴EF=$\sqrt{2}$，FM=$\frac{1}{2}EF$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴GA=$\sqrt{3}$AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴棱锥G-AEF的体积V=$\frac{1}{3}$S_△AEF•GA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查了二面角的作法，棱锥的体积计算，正确作出二面角的平面角是关键，属于中档题．