Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且an=2﹣2Sn ， 数列{bn}为等差数列，且b5=14，b7=20．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若cn=anbn ， n∈N* ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=2﹣2Sn，当n=1时，a1=2﹣2a1，解得a1= ；

当n≥2时，an﹣1=2﹣2Sn﹣1，

∴an﹣an﹣1=2﹣2Sn﹣（2﹣2Sn﹣1）=﹣2an，

化为3an=an﹣1，

∴数列{an}是等比数列，首项为 ，公比为 ，

可得：an= （ ）n﹣1=2（ ）n，n∈N*

（2）解：数列{bn}为等差数列，公差为d且b5=14，b7=20．

可得b1+4d=14，b1+6d=20，

解得b1=2，d=3，

可得bn=b1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；

cn=anbn=2（3n﹣1）（ ）n．

前n项和Tn=2[2（ ）+5（ ）2+7（ ）3+…+（3n﹣1）（ ）n]，

Tn=2[2（ ）2+5（ ）3+7（ ）4+…+（3n﹣1）（ ）n+1]，

相减可得 Tn=2[ +2（ ）2+2（ ）3+…+2（ ）n﹣（3n﹣1）（ ）n+1]

=2[ +2 ﹣（3n﹣1）（ ）n+1]，

化简可得Tn= ﹣

【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得到数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}为等差数列，公差为d，运用等差数列的通项公式，结合条件，解方程可得首项和公差，即可得到bn，求出cn=anbn=2（3n﹣1）（ ）n．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．