Question

1．如图所示，已知D，E分别是三棱锥V-ABC的两个侧面VAB，VBC的重心．
（1）证明：DE∥平面ABC；
（2）若该三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，侧面是以4为腰长的等腰三角形，求三棱锥V-ABC的表面积．

Answer 1

分析 （1）连接VE并延长交AB于M，连接VD并延长交BC于N，连接MN，由已知推导出MN∥DE，由此能证明MN∥平面ABC．
（2）连结CM，过V作VO⊥平面ABC，交CM于O，由勾股定理求出MO，VM，MC，由此能求出三棱锥V-ABC的表面积．

解答 证明：（1）连接VE并延长交AB于M，连接VD并延长交BC于N，连接MN，
∵D，E分别是侧面VAB和侧面VBC的重心
∵VD：MD=VE：NE=2：1
∴MN∥DE
∵MN?平面ABC，DE?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
解：（2）连结CM，过V作VO⊥平面ABC，交CM于O，
∵该三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，侧面是以4为腰长的等腰三角形，
∴MO=$\frac{1}{3}MC=\frac{1}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，VM=$\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，MC=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴三棱锥V-ABC的表面积：
S=3S_△VAB+S_△ABC
=3×$\frac{1}{2}×AB×VM$+$\frac{1}{2}×AB×CM$
=3×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}$+$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$
=3$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．