Question

已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

2

、

3

、

6

，这个长方体的对角线长为

6

；它的外接圆的体积为

6

π

．

Answer 1

分析：由题意设三个边的长分别是a，b，c，则有ab=

2?

，bc=

3?

，ca=

6?

，由此求出a，b，c的值，由公式求出对角线的长，再利用对角线长即为它的外接球的直径求出半径后得到体积即可．

解答：解：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，
列出方程组

ab= 2 bc= 3 ac= 6

，
解得

a= 2 b=1 c= 3

故长方体的对角线长是

1+2+3

=

6

∵对角线长即为它的外接球的直径求出半径，
∴它的外接球的半径为

6

2

，
它的外接球的体积为V=

4

3

π×R³=

4

3

×π×(

6

2

)3=

6

π．
故答案为

6

；

6

π．

点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查根据题目中所给的条件求出三个棱长的长度，再由球体的体积公式求出体积的能力，本题直接利用公式建立方程求解，题目较易．