【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数,
(1)求a的值;
(2)试判断f(x)在(﹣∞,+∞)的单调性,并请你用函数单调性的定义给予证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】
(1)解:∵定义域为R的函数f(x)= 是奇函数,
∴f(﹣x)= =
=﹣f(x)=
,
∴a×2x+2=a+2x+1,
解得a=2.
检验:a=2时,f(x)= ,
∴f(﹣x)= =
,
∴f(x)+f(﹣x)=0对x∈R恒成立,即f(x)是奇函数.
∴当函数f(x)= 是奇函数时,a的值为2
(2)解:由(1)知 ,f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递减函数.
证明如下:
令2x=t,则y= =
=﹣
(1﹣
)=﹣
,
在(﹣∞,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,
∵t=2x在(﹣∞,+∞)上是增函数,∴0<t1<t2,
∴y1﹣y2=(﹣ )﹣(﹣
)=
=
,
∵0<t1<t2,∴t2﹣t1>0,t1+1>0,t2+1>0,
∴y1﹣y2>0,
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递减函数
(3)解:∵f(x)是奇函数,
∴不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,等价于不等式f(mt2+1)<f(mt﹣1)恒成立,
∵f(x)在R上是减函数,
∴对任意的t∈R,mt2+1>mt﹣1恒成立,
整理,得:mt2﹣mt+2>0对任意的t∈R恒成立,
当m=0时,不等式为2>0恒成立,符合题意;
当m≠0时, ,解得0<m<8.
综上,实数m的取值范围为[0,8)
【解析】(1)由奇函数性质得f(﹣x)= =﹣f(x)=
,由此能求出a的值.(2)
,在(﹣∞,+∞)上是单调递减函数.令2x=t,由定义法能证明f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递减函数.(3)不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,等价于不等式f(mt2+1)<f(mt﹣1)恒成立,由f(x)在R上是减函数,得对任意的t∈R,mt2+1>mt﹣1恒成立,由此能求出实数m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合,掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=ax3﹣x2+4x+3,若在区间[﹣2,1]上,f(x)≥0恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣6,﹣2]
B.
C.[﹣5,﹣3]
D.[﹣4,﹣3]
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【题目】已知函数f(x)=﹣2x2+ax+b且f(2)=﹣3.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,求函数f(x)在区间[﹣2,3]上的值域;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上递减,求实数b的取值范围.
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【题目】随着我国经济的迅速发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
时间代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
储蓄存款y (千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
附:回归方程 中,
=
.
(1)求y关于x的线性回归方程 ;
(2)用所求回归方程预测该地区今年的人民币储蓄存款.
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【题目】已知f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1﹣x2 .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象.
(3)若函数f(x)在区间[a,a+1]上单调,直接写出实数a的取值范围.(不必写出演算过程)
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【题目】对于0<a<1,给出下列四个不等式( )
①loga(1+a)<loga(1+ );
②loga(1+a)<loga(1+ );
③a1+a<a ;
④a1+a<a ;
其中成立的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【题目】设函数f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.0<g(a)<f(b)
B.f(b)<g(a)<0
C.f(b)<0<g(a)
D.g(a)<0<f(b)
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