【题目】如图,以为顶点的六面体中, 和均为等边三角形,且平面平面, 平面, , .
(1)求证: 平面;
(2)求此六面体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2) 2.
【解析】试题分析:(Ⅰ)作 ,交于,连结 ,根据条件证明四边形是平行四边形;(Ⅱ)将此六面体分成两个三棱锥的体积和 ,根据(Ⅰ)的结果可知点到平面的距离是,点到平面的距离是,这样求体积和.
试题解析:(Ⅰ)作,交于,连结.
因为平面平面,
所以平面,
又因为平面,
从而.
因为是边长为2的等边三角形,
所以,
因此,
于是四边形为平行四边形,
所以,
因此平面.
(Ⅱ) 因为是等边三角形,
所以是中点,
而是等边三角形,
因此,
由平面,知,
从而平面,
又因为,
所以平面,
因此四面体的体积为,
四面体的体积为,
而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积
故所求六面体的体积为2
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【题目】已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上, =λ , =μ ,若 =1, =﹣ ,则λ+μ=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆C1: 的离心率为 ,焦距为 ,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点. (Ⅰ)求C1与C2的标准方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的两点P,Q满足 ,且直线PQ与C2相切,求△FPQ的面积.
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【题目】已知, , .
(1)讨论函数的单调性;
(2)记,设, 为函数图象上的两点,且.
(i)当时,若在, 处的切线相互垂直,求证: ;
(ii)若在点, 处的切线重合,求的取值范围.
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【题目】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,也就是大约一千五百年前,传本的《孙子算经》共三卷,卷中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?”该著作中提出了一种解决问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚加一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时,均可采用此方法求解,如图,是解决这类问题的程序框图,若输入,则输出的结果为( )
A. 120 B. 121 C. 112 D. 113
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【题目】一个袋子中装有三个编号分别为1,2,3的红球和三个编号分别为1,2,3的白球,三个红球按其编号分别记为a1 , a2 , a3 , 三个白球按其编号分别记为b1 , b2 , b3 , 袋中的6个球除颜色和编号外没有任何差异,现从袋中一次随机地取出两个球,
(1)列举所有的基本事件,并写出其个数;
(2)规定取出的红球按其编号记分,取出的白球按其编号的2倍记分,取出的两个球的记分之和为一次取球的得分,求一次取球的得分不小于6的概率.
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点.
(1)证明:面PAD⊥面PCD;
(2)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(3)求二面角A﹣MC﹣B的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=2 ﹣ ,则使得f(2x)>f(x﹣3)成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3)
B.(1,+∞)
C.(﹣3,﹣1)
D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣t)|x|(t∈R).
(1)讨论y=f(x)的奇偶性;
(2)当t>0时,求f(x)在区间[﹣1,2]的最小值h(t).
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