Question

【题目】如图，在圆内接等腰梯形中，已知，对角线、交于点，且图中各条线段长均为正整数，，圆的半径．

（1）求证：图中存在一个三角形，其三边长均为质数且组成等差数列；

（2）若给图中的线（包括圆、梯形、梯形的对角线）作点染色，使、、染上红色，其他点染上红蓝色之一，求证：图中存在三个同色点，两两距离相等且长度为质数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）在中，，外接圆半径为．由正弦定理得

．

在中，由，，知为最长边．故、只能取之间的整数，即，，，，，．

在中，应用余弦定理得 ．

把、的可能取值代入验证知、只能取3、5．故存在，其三边长3、5、7均为质数，且组成一个公差为2的等差数列．

（2）在圆内接等腰梯形中，对用外角定理、圆周角定理得

．

从而，、均为正三角形．

又由，有．

故的三边长为，，，是边长为3的正三角形，是边长为5的正三角形．

以为底边作等腰．

由，知是边长为7的正三角形．

同理，可作边长为7的正．

如图，联结交于点，再联结、、．易得．

从而，

从而，．

又，得是边长为3的正三角形．

进而，，，

是边长为的正三角形．

当、、中有红点时，、、中存在三顶点同为红色的正三角形，其边长为质数3、5、7之一，命题已成立．

当、、中无一为红点时，考虑点．

（1）为蓝点，则是三顶点同为蓝色的正三角形，其边长为质数3．

（2）为红点，考虑点，若点为红点，则是三顶点同为红色的正三角形，其边长为质数5；若点为蓝点，则是三顶点同为蓝色的正三角形，其边长为质数7．

综上，图中总存在三个同色点，两两距离相等且长度为质数3、5、7之一．