Question

7．已知抛物线M：y²=4x，圆N：（x-1）²+y²=r²（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要不充分条件是（　　）

• A． r∈（0，1]
• B． r∈（1，2]
• C． r∈[$\sqrt{3}$，4）
• D． r∈[ln2，+∞）

Answer 1

分析 分l⊥x轴与l不与x轴垂直两种情况讨论，当l不与x轴垂直时，设直线l：x=my+1，与抛物线方程y²=4x联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），结合题意，可求得4$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{2r}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，继而可得r＞2，从而可得答案．

解答 解：①当l⊥x轴时，过x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．
②当l不与x轴垂直时，设直线l：x=my+1，（1）
代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
△=16（m²+1），
把（1）代入：（x-1）²+y²=r²得y²=$\frac{{r}^{2}}{{m}^{2}+1}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵|AC|=|BD|，
∴y₁-y₃=y₂-y₄，y₁-y₂=y₃-y₄，
∴4$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{2r}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
即r=2（m²+1）＞2，
即r＞2时，l仅有三条．
考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）
故选：D．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查等价转化思想与分类讨论思想，求得r=2（m²+1）是关键，考查综合运算能力，属于难题．