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13.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,点E、F分别在CD、AB上,且EF⊥CD,BE⊥BC,BC=1,CE=2.现将矩形ADEF沿EF折起,使平面ADEF与平面EFBC垂直(如图2).
(Ⅰ)求证:CD∥面ABF;
(Ⅱ)当AF的长为何值时,二面角A-BC-F的大小为30°.

分析 (Ⅰ)推导出CE∥面ABF,DE∥面ABF,由此能证明面CDE∥面ABF,从而CD∥面ABF.
(Ⅱ)过F作CB的垂线,交CB的延长线于H点,连结AH,推导出∠AHF是二面角A-BC-F的平面角,由此能求出AF的长.

解答 证明:(Ⅰ)∵CE∥BF,CE?面ABF,BF?面ABF,
∴CE∥面ABF,
又DE∥AF,DE?面ABF,AF?面ABF,
∴DE∥面ABF,
∵DE∩CE=E,且DE、CE?面CDE,
∴面CDE∥面ABF,
又CD?面CDE,∴CD∥面ABF.
解:(Ⅱ)过F作CB的垂线,交CB的延长线于H点,连结AH,
∵面ADEF⊥面EFBC,AF⊥EF,
∴AF⊥面EFBC,CB?面EFBC,
∴CB⊥AF,CB⊥面AF,
∴AH⊥CH,
∴∠AHF是二面角A-BC-F的平面角,
∴∠AHF=30°,
∵BC=1,CE=2,且BE⊥BC,∴∠BCE=60°,
在直线梯形EFBC中,BF=2-cos60°=$\frac{3}{2}$,
∴FH=$\frac{3}{2}sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,
在直角三角形AHF中,AF=FH$•tan∠AHF=\frac{3\sqrt{3}}{4}•\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{4}$.

点评 本题考查线面平行的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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