Question

【题目】设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），a≥0．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域是（﹣1，+∞），

a=1时，f（x）=ln（x+1）+x2﹣x，

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ ，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣ ，

得：f（x）在（﹣1，﹣ ）递增，在（﹣ ，0）递减，在（0，+∞）递增，

∴x=﹣ 时，f（x）取得极大值f（﹣ ）= ﹣ln2，

x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0

（2）解：f′（x）= ，

令g（x）=2ax2+ax+1﹣a=2a（x+ ）2+1﹣ ，

① 若1﹣ ≥0，即0≤a≤ ，则g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，

从而f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，

而f（0）=0，∴0≤a≤ 符合题意；

②若1﹣ ＜0，即a＞ ，

由于g（﹣1）=1＞0，g（1）=2a+1＞0，

则g（x）在（﹣1，+∞）有2个零点，

从而函数f（x）在（﹣1，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜﹣ ＜x2，

（i）当 ≤a≤1时，∵g（0）≥0，可知x≥0时，f′（x）≥0恒成立，

x＞0时，f（x）＞f（0）=0成立，

（ii）a＞1时，g（0）＜0，可知f（x）在（0，x2）递减，

∵f（0）=0，故不能满足题意，

综上 a∈[0，1]

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数f（x）的导数，令g（x）=2ax2+ax+1﹣a=2a（x+ ）2+1﹣ ，通过a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．