Question

已知函数y=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，求：
（1）函数的最小值及此时的x的集合．
（2）函数在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式，化简函数解析式：f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，然后，结合三角寒山寺的图象与性质求解最值问题；
（2）直接结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答： 解：（1）∵y=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，
=cos²x+

3

sinxcosx+cos²x+sin²x
=cos²x+

3

sinxcosx+1
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+1
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴y_min=1+

3

2

=

5

2

，此时，2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x=-

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数的最小值

5

2

，及此时的x的集合{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函数在[0，π]上的单调增区间[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
∴函数在[0，π]上的单调减区间[

π

6

，

2π

3

]
综上，函数在[0，π]上的单调增区间为：[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]，
减区间为：[

π

6

，

2π

3

]．

点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、三角恒等变换等知识，属于中档题．