Question

已知函数f(x)=cos(2ωx-

π

6

)+sin2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f(x)=cos(2ωx-

π

6

)+sin2ωx(ω＞0)化简为f（x）=

3

sin(2ωx+

π

6

)，即可根据最小正周期为π求出ω；
（Ⅱ）先利用不等式的性质确定

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，再利用三角函数的性质求解即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2ωx-

π

6

)+sin2ωx(ω＞0)
=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+sin2ωx
=

3

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx
=

3

sin(2ωx+

π

6

)．
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

3

sin(2x+

π

6

)．
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴-

3

2

≤

3

sin(2x+

π

6

)≤

3

，
函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，

3

]．

点评：本题考查三角函数的性质、两角和的余弦公式和辅助角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题．