Question

11．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，D是BC的中点，M、N分别为线段PB、PC上的点，MN∥BC．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（2）若PA=AD，当点A到直线MN的距离最小时，求三棱锥P-AMN与三棱锥P-ABC的体积之比．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）根据三棱锥的体积关系进行转化求解即可．

解答 （1）解：∵△ABC是正三角形，且D是BC中点
∴AD⊥BC，
又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵PA、AD在平面PAD内且相交于A
∴BC⊥平面PAD
又BC在平面PBC内，∴平面PAD⊥平面PBC．
（2）解：∵MN∥BC，BC⊥平面PAD
∴MN⊥平面PAD，
设MN交PD于R，连结AR，则AR⊥MN，
∴AR是点A到直线MN的距离（10分）
在Rt△PAD中，当AR⊥PD时，AR最小
∵MN、PD都在平面PBC内，∴AR⊥平面ABC
∵PA=AD，∴R是PD中点
故$\frac{{{V_{P-AMN}}}}{{{V_{P-ABC}}}}=\frac{{{V_{A-PMN}}}}{{{V_{A-PBC}}}}=\frac{{\frac{1}{3}×{S_{△PMN}}×AR}}{{\frac{1}{3}×{S_{△PBC}}×AR}}=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及体积公式是解决本题的关键．