如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m.圆心为O.通过细绳悬挂在天花板上.圆环呈水平状态.并且与天花板的距离为2m.在圆环上设置三个等分点A1.A2.A3．点C为OB上一点.同时点C与点A1.A2.A3.B均用细绳相连接.且细绳CA1.CA2.CA3的长度相等．设细绳的总长为ym．(1)设∠CA1O=θ(rad).将y表示成θ的函数关系式,(2)请你设计θ.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB）为2m，在圆环上设置三个等分点A₁，A₂，A₃．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A₁，A₂，A₃，B均用细绳相连接，且细绳CA₁，CA₂，CA₃的长度相等．设细绳的总长为ym．
（1）设∠CA₁O=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长．

分析：（1）由于细绳的总长包括CB长及CA₁，CA₂，CA₃的长，CA1=

cosθ

，CO=2tanθ，故可表示细绳的总长；
（2）利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点，所以利用求极值的方法可求最值．

解答：

解：（1）在Rt△COA₁中，CA1=

cosθ

，CO=2tanθ，…（2分）y=3CA1+CB=3•

cosθ

+2-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+2（0＜θ＜

）…（7分）
（2）y/=2

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

3sinθ-1

cos2θ

，
令y'=0，则sinθ=

…（12分）
当sinθ＞

时，y'＞0；sinθ＜

时，y'＜0，
∵y=sinθ在[0，

]上是增函数
∴当角θ满足sinθ=

时，y最小，最小为4

+2；此时BC=2-

m …（16分）

点评：本题的考点是已知三角函数模型的应用问题，主要考查引进角参数，构建三角函数模型，同时考查利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点

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如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB）为2m，在圆环上设置三个等分点A₁，A₂，A₃．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A₁，A₂，A₃，B均用细绳相连接，且细绳CA₁，CA₂，CA₃的长度相等，求细绳总长y的最小值，并求出此时BC的长度．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A₁，A₂，A₃。点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A₁，A₂，A₃，B均用细绳相连接，且细绳CA₁，CA₂，CA₃的长度相等。设细绳的总长为ym。（1）设∠CA₁O = (rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长。