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如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米（a与b均不小于2米），且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米．
（Ⅰ）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；
（Ⅱ）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．

解：（Ⅰ）由条件知， $\text{[math]}$ …
∵b≥2，∴ $\text{[math]}$ ，∴2≤a≤4…
∴S（a）=（32-2a）（18-b）
即： $\text{[math]}$ （2≤a≤4）…
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ …
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，上式取“=”号，则S（a）≤-4×48+592=400
即 $\text{[math]}$ 时，S（a）取得最大值，最大值为400．…
答：当人行道的宽度a、b分别为 $\text{[math]}$ 米和3米时，草坪的面积达到最大，最大面积是400平方米 …
分析：（I）利用面积，确定a，b的关系，可得a的范围，进而可表示出草坪的面积S（a）；
（II）利用基本不等式，可求最值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米（a与b均不小于2米），且要求“转角处”（图中矩形AEFG）的面积为8平方米．
（Ⅰ）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；
（Ⅱ）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG）”的面积为8平方米
（1）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围
（2）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．
（3）直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a的值．

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科目：高中数学 来源：2014届江苏省扬州市高一下期中数学试卷（解析版） 题型：解答题

(本题满分15分)

如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于2米，且要求“转角处”（图中矩形）的面积为8平方米