Question

【题目】的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.

（1）求的值；

（2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.

Answer 1

【答案】（1）2或14；（2），，.

【解析】

先由二项式系数的性质求，再根据二项式展开式的通项公式和等差中项公式求 ；（2）根据二项式展开式的通项公式，令的指数为整数次求解.

因为奇数项的二项式系数之和为128，

所以，解得，

所以二项式为

第一项：，系数为1，

第二项：，系数为，

第三项：，系数为，

由前三项系数成等差数列得： ，

解得或.

（2）若，由（1）得二项式为，通项为：

，其中

所以，

令即，此时；

令即，不符题意；

令即，不符题意；

令即，此时；

令即，不符题意；

令即，不符题意；

令即， 此时

综上，有3项有理项，分别是：

，，.