Question

给出以下命题：
①函数既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x²）的定义域为（-1，1）；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，且函数f（x）在R上递增，则函数h（x）=f（x）-g（x）在R上递增．
其中正确的命题是    （写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：①根据绝对值的性质进行判断；
②根据对称轴的公式进行判断；
③根据抽象函数的定义域的性质进行判断；
④利用函数的绝对值的性质，对其判断；
⑤利用函数的单调性的定义和性质进行判断．
解答：解：①∵函数≥0，显然有最小值，故①错误；
②∵函数g（x）=x²-2x-3的对称轴x=1，
因为函数f（x）=|x²-2x-3|与函数g（x）=x²-2x-3对称轴一样，
∴函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称，故②正确；
③若函数f（x）的定义域为（0，1），
则函数f（x²）的定义域为（-1，0）∪（0，1），故③错误；
④∵|f（-x）|=|f（x）|，
∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）或是奇函数或是偶函数，故④正确；
⑤∵对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
且函数f（x）在R上递增，
∴函数h（x）=f（x）-g（x）在R上递增．故⑤正确；
故答案为②④⑤；
点评：此题主要考查二次函数，抽象函数，以及奇偶函数的性质，用定义法判断函数的增减性，知识点比较多比较全面，是一道小型综合题，难度不是很大．