Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以，
即1=，解得a²=b²+1=4，因此，椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，
|OA|²+|OB|²=2a²，|AB|²=4a²（a²＞1），
因此，恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²．
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：，
整理得（a²+b²m²）y²+2b²my+b²-a²b²=0，
所以
因为恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，所以∠AOB恒为钝角．
即恒成立．
x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=
=
又a²+b²m²＞0，所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²＜0对m∈R恒成立，
即a²b²m²＞a²-a²b²+b²对m∈R恒成立．
当m∈R时，a²b²m²最小值为0，所以a²-a²b²+b²＜0．
a²＜a²b²-b²，a²＜（a²-1）b²=b⁴，
因为a＞0，b＞0，所以a＜b²，即a²-a-1＞0，
解得a＞或a＜（舍去），即a＞，
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．
分析：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²．
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，
由题设条件能够推导出=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，不等式的解法等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．