Question

已知向量=（2cos²x，sinx），=（1，2cosx）．
（I）若⊥且0＜x＜π，试求x的值；
（II）设f（x）=•，试求f（x）的对称轴方程和对称中心．

Answer 1

解：（I）∵⊥．
∴•=2cos²x+2sinxcosx…（2分）
=cos2x+sin2x+1
=sin（2x+）+1
=0，…（4分）
∵0＜x＜π，
∴2x+∈（，），
∴2x+=或，
∴x=或．…（6分）
（II）∵f（x）=sin（2x+）+1，
令2x+=kπ+，k∈Z，可得x=+，k∈Z，
∴对称轴方程为x=+，k∈Z，…（9分）
令2x+=kπ，k∈Z，可得x=-，k∈Z，
∴对称中心为（-，1）k∈Z，…（12分）
分析：（Ⅰ）由⊥可得sin（2x+）+1=0，又0＜x＜π，从而可求得x的值；
（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+）+1，由2x+=kπ+，k∈Z，可求得其对称轴方程；由2x+=kπ，k∈Z，可求其对称中心的横坐标，继而可得答案．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查向量的坐标运算，考查正弦函数的对称轴与对称中心，掌握向量的坐标运算公式与正弦函数的性质是根本，属于中档题．