Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁+a₂=10，S₅=40．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₂=10，S₅=40．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+d）=10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=40}\end{array}\right.$，解得a₁=4，d=2．
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{8（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．