Question

7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若tanA+tanC=$\sqrt{3}$（tanAtanC-1）
（Ⅰ）求角B
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和的正切公式，利用三角形内角和定理，即可求出B的值；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，tanA+tanC=$\sqrt{3}$（tanAtanC-1），
∴$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=-$\sqrt{3}$，
即tan（A+C）=-$\sqrt{3}$；
又A+B+C=π，
∴tanB=$\sqrt{3}$；
由B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC中，由余弦定理得：
cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+c²=ac+4；
又a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c=2时取“=”，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角形内角和定理、余弦定理的应用问题，是基础题．