Question

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列{a_n}的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{b_n}的前六项．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求视力不小于5.0的学生人数；
（3）设

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

=bn+1(n∈N+)，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据前面两个小矩形的面积求出其概率，进而求出其频数，再结合数列知识求得数列的通项公式；
（2）欲求视力不小于5.0的学生人数，即求直方图中最后两组的频数，也即数列{bn}的第五和第六项之和；
（3）先证明数列{Cn}与数列{bn}之间的关系，得到数列{Cn}从第二项始是一个等比数列，从而求得其通项．

解答：解：（1）由题意知a₁=0.1×0.1×100=1，a₂=0.3×0.1×100=3
因此数列{a_n}是一个首项a₁=1．公比为3的等比数列，所以a_n=3^n-1．b₁=a₄=27
又b₁+b₂++b₆=100-（a₁+a₂+a₃）=100-（1+3+9）
所以6b1+

6×5

2

d=87，解得d=-5，
因此数列{b_n}是一个首项b₁=27，公差为-5的等差数列，
所以b_n=32-5n，（6分）

（2）求视力不小于5.0的学生人数为b₅+b₆=（32-5×5）+（32-5×6）=9（8分）

（3）由

c1

a1

+

c2

a2

++

cn-1

an-1

+

cn

an

=bn+1(n∈N+)①
可知，当n≥2时，

c1

a1

+

c2

a2

++

cn-1

an-1

=bn②
①-②得，当n≥2时，

cn

an

=bn+1-bn=-5，
∴c_n=-5a_n=-5•3^n-1（n∈N₊，n≥2），
又

c1

a1

=b2=22，c1=22，
因此数列{c_n}是一个从第2项开始的公比为3的等比数列，
数列{c_n}的通项公式为cn=

22 n=1 -5•3n-1 n≥2

（14分）

点评：本题主要考查频率分布直方图和等差等比数列的通项公式，是一道直方图与数列交汇的题目，具有一定的综合性，属于中档题．