Question

牧场中羊群的最大养殖量为m，为了保证羊群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量m-x．已知羊群的年增长量y与“实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积”成正比，比例系数为k（k＞0）．
（Ⅰ）写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
（Ⅱ）求羊群年增长量的最大值；
（Ⅲ）当羊群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，空闲率为

m-x

m

∴y=kx

m-x

m

=

k

m

x(m-x)，x∈（0，m）…（4分）
（Ⅱ）y=

k

m

x(m-x)=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，x∈（0，m）…（6分）
因为函数y=

k

m

x(m-x)=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

在(0，

m

2

)上是增函数，在(

m

2

，m)上是减函数．
所以当x=

m

2

时，ymax=

km

4

，所以羊群年增长量的最大值为ymax=

km

4

．…（8分）
（Ⅲ）由题意知

m

2

+

km

4

≤m…（10分）
得0＜k≤2…（11分）
答：当羊群年增长量达到最大值时，k的取值范围为0＜k≤2．…（12分）