练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
    （1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为
    {x|0＜x≤1}
    {x|0＜x≤1}
    ．
    （2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是
    ①②③
    ①②③
    ．（写出所有正确结论的序号）
    ①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
    ②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
    ③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
    分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得
    c
    a
    的范围，解出函数f（x）=ax+bx-cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；
    （2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx-cx变形为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
    a
    c
    )x+(
    b
    c
    )x-1]    ，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；
    对于②，利用取特值法说明命题是正确的；
    对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
    解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以
    c
    a
    ≥2    ，则ln
    c
    a
    ≥ln2＞0    ．
    令f（x）=ax+bx-cx=2ax-cx=cx[2(
    a
    c
    )x-1]=0    ．
    得(
    c
    a
    )x=2    ，所以x=
    ln2
    ln
    c
    a
    ≤
    ln2
    ln2
    =1    ．
    所以0＜x≤1．
    故答案为{x|0＜x≤1}；
    （2）因为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
    a
    c
    )x+(
    b
    c
    )x-1]    ，
    又
    a
    c
    ＜1，
    b
    c
    ＜1    ，
    所以对?x∈（-∞，1），(
    a
    c
    )x+(
    b
    c
    )x-1＞(
    a
    c
    )1+(
    b
    c
    )1-1=
    a+b-c
    c
    ＞0    ．
    所以命题①正确；
    令x=-1，a=2，b=4，c=5．则ax=
    1
    2
    ，bx=
    1
    4
    ，cx=
    1
    5
    ．不能构成一个三角形的三条边长．
    所以命题②正确；
    若三角形为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0．
    f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0．
    所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
    所以命题③正确．
    故答案为①②③．
    点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1•Sn，n∈N*
    （Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为
    		3
    +1
    		3
    +1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为
    		3
    		3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=(-1)nan-
    1
    2n
    ，n∈N*，则
    （1）a3=
    -
    1
    16
    -
    1
    16
    ；
    （2）S1+S2+…+S100=
    1
    3
    (
    1
    2100
    -1)
    1
    3
    (
    1
    2100
    -1)
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案