Question

3．已知关于x的方程：x²+2（a-1）x+2a+6=0．
（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）=x²+2（a-1）x+2a+6，x∈[-1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方程有两个不等实数根，从而判别式△＞0，这样便可得出a＜-1，或a＞5，即得出了实数a的取值范围；
（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，从而判别式△＞0，由（Ⅰ）知a＜-1，或a＞5，并且小根满足大于1，即$\frac{2（1-a）-\sqrt{4（a-1）^{2}-4（2a+6）}}{2}＞1$，解出该不等式，再根据a还需满足a＜-1，或a＞5即可得出实数a的取值范围；
（Ⅲ）先求f（x）的对称轴，x=1-a，讨论1-a和区间[-1，1]的关系：分1-a≤-1，-1＜1-a≤0，0＜1-a＜1，和1-a≥1四种情况，在每种情况里，根据二次函数的单调性或取得顶点情况及端点值的比较，便可得出f（x）在[-1，1]上的最大值，和最小值，最后便可写出M（a），N（a）．

解答 解：（Ⅰ）该方程有两个不等实数根；
∴△=4（a-1）²-4（2a+6）＞0；
解得a＜-1，或a＞5；
（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，根据（Ⅰ）便知，a＜-1，或a＞5；
且这两个根都大于1；
∴$\frac{2（1-a）-\sqrt{4（a-1）^{2}-4（2a+6）}}{2}＞1$；
即$-2a＞\sqrt{4（{a}^{2}-4a-5）}$；
∴$-a＞\sqrt{{a}^{2}-4a-5}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a}^{2}＞{a}^{2}-4a-5}\end{array}\right.$；
解得$-\frac{5}{4}＜a＜0$；
∴$-\frac{5}{4}＜a＜-1$；
∴实数a的取值范围为（$-\frac{5}{4}$，-1）；
（Ⅲ）f（x）的对称轴为x=1-a；
∴①1-a≤-1，即a≥2时，f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（-1）=9；
②-1＜1-a≤0，即1≤a＜2时，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1-a）=-a²+4a+5；
③0＜1-a＜1，即0＜a＜1时，M（a）=f（-1）=9，N（a）=f（1-a）=-a²+4a+5；
④1-a≥1，即a≤0时，f（x）在[-1，1]上单调递减；
∴M（a）=f（-1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；
∴综上得，$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{9}&{a＜1}\\{4a+5}&{a≥1}\end{array}\right.$，$N（a）=\left\{\begin{array}{l}{4a+5}&{a≤0}\\{-{a}^{2}+4a+5}&{0＜a＜2}\\{9}&{a≥2}\end{array}\right.$．

点评 考查一元二次方程有两个不等实数根时判别式△的取值情况，一元二次方程的求根公式，二次函数的对称轴，以及根据二次函数的单调性或取得顶点情况，及对端点值的比较，从而得出函数最值的方法．