Question

【题目】已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn与an之间满足an= （n≥2，n∈N*）
（1）求证：数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k 对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an= （n≥2，n∈N*），

∴Sn﹣Sn﹣1= ，化为： ﹣ =2．

∴数列{ }是等差数列，公差为2，首项为1．

（2）解：由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn= ．

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ．

∴an= ．

（3）解：∵1+Sn=1+ = ．

∴Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）= × ×…× ＞ × ×…× = ×…× ×（2n+1）

= ，

可得：Tn＞ ．

∴存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k 对于一切n∈N*都成立，则k的最大值为1．

【解析】（1）数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an= （n≥2，n∈N*），可得Sn﹣Sn﹣1= ，化为： ﹣ =2．即可证明．（2）由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn= ．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；n=1时，a1=1．（3）1+Sn=1+ = ．可得Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）= × ×…× ＞ × ×…× = ×…× ×（2n+1）= ，可得：Tn＞ ．即可得出．