Question

19．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（x∈R）
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}，\;\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值并写出相应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、倍角公式可得f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$．再利用正弦函数的单调性即可得出；
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}，\;\frac{π}{4}$]，可得$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}]$，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}（2co{s}^{2}x-1）}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$kπ+\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间是[$kπ+\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}，\;\frac{π}{4}$]，∴$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}]$，
∴当$2x-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）_max=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
当$2x-\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）_min=$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．