Question

2．在平行四边形ABCD中，BM⊥AC于M点，BM=2，N是△ABC边界及内部的任意一点，$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$的取值范围是[0，4]．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BN}$在$\overrightarrow{BM}$上的投影为BN'，由向量的数量积的几何意义，只要求得BN'的最小值和最大值，即可得到所求范围．

解答 解：设$\overrightarrow{BN}$在$\overrightarrow{BM}$上的投影为BN'，
$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=|$\overrightarrow{BM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|cos∠MBN
=2|$\overrightarrow{BN}$|cos∠MBN=2BN'，
由线段BN'最小值为0，最大值为2，
可得$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$的最小值为0，最大值为4．
即有$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$的取值范围是[0，4]，
故答案为：[0，4]．

点评 本题考查向量的数量积的定义及几何意义，考查运算能力，属于基础题．