Question

20．已知f（x）=|x-a|+|x-3|．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x-3|≥|x-1-x+3|=2，即可求f（x）的最小值；
（2）x∈R时，恒有|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|3-a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3-a|≤3，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x-3|≥|x-1-x+3|=2，
∴f（x）的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．
（2）∵x∈R时，恒有|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|3-a|，
∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3-a|≤3，∴0≤a≤6．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．